Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:

Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio.

Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita alvolumen denominado cono.

Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.

Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.

Área de una superficie de revolución

Si la curva está definida por las funciones

x(t)

y(t)

, perteneciendo

t

a un intervalo

[a,b]

y siendo el eje de revolución el eje coordenado

y

, el área

A

estará dada, entonces, por la integral

$A = 2 \pi \int_a^b x(t) \ \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt$

siendo

x(t)

siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad

$\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2$

se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad

2\pi x(t)

es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.

Si la curva está definida por la función

y=f(x)

, la integral se transforma en

$A=2\pi\int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx,\ \mbox{para} \qquad x_1=x(t=a), \mbox{y} x_2=x(t=b)$

para una curva que gira alrededor del eje de las abscisas, y

$A=2\pi\int_{y_1}^{y_2} x \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy,\ \mbox{para} \qquad y_1=f(x_1), \mbox{y} y_2=f(x_2)$

para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas.

Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva

x(t)=cos(t)

y(t)=sen(t)

cuando

t

toma valores en el intervalo

[0,\pi]

. Su área, por tanto, será

$A = 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \sqrt{\left(\cos(t)\right)^2 + \left(\sin(t)\right)^2} \, dt = 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \, dt = 4\pi$

Geometría diferencial de superficies de revolución

Artículo principal: Geometría diferencial de superficies

Una superficie de revolución puede ser parametrizada mediante una coordenada a lo largo de su generatriz u y una coordenada angular v de tal manera que:

$\mathbf{r}(u,v) = (\rho(u)\cos v, \rho(u)\sin v, h(u)) \quad \mbox{con}\ v\in [0,2\pi)$

Las curvas con u = constante, son círculos llamados paralelos, mientras que las líneas con v = constante, llamados meridianos son líneas geodésicas de longitud y curvatura mínimas. Además los coeficientes de la primera forma fundamental o tensor métrico de una superficie resultan ser:

[I_{kl}(u,v)] =\begin{pmatrix} E(u,v) & F(u,v) \\ F(u,v) & G(u,v) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho_u^2(u)+h_u^2(u) & 0 \\ 0 & \rho^2(u) \end{pmatrix}

Por lo que la métrica es diagonal. En cuanto a la segunda forma fundamental relacionada con la curvatura de la superficie también toma una forma particularmente simple:

[II_{kl}(u,v)] =\begin{pmatrix} L(u,v) & M(u,v) \\ M(u,v) & N(u,v) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\rho_uh_{uu}-\rho_{uu}h_u}{\sqrt{E}} & 0 \\ 0 & \frac{\rho h_u}{\sqrt{E}} \end{pmatrix}

Teorema del centroide de Pappus

Teorema del centroide de Pappus, también conocido como teorema de Guldin, teorema de Pappus-Guldin o teorema de Pappus, es el nombre de dos teoremas que relacionan superficies y volúmenes de sólidos de revolución con sus respectivos centroides.

Los teoremas se les atribuyen a Pappus de Alejandría y a Paul Guldin.

Primer Teorema

Sea una curva plana definida por la función

y=f(x)

, en un intervalo cerrado

[a, b]

donde es continua. Entonces, el área del sólido de revolución que se genera al girar la curva alrededor del eje de las

x

es:

$A=2\pi\int_a^b f(x) \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$

Por otra parte, la coordenada

\overline y

del centroide de esta curva se calcula así:

$\begin{array}{rcl} \overline y & = & \frac {\displaystyle \int_a^b f(x) \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx}{\displaystyle \int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx}\\ \\ & = & \frac {\displaystyle \int_a^b f(x) \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx}{\displaystyle L} \end{array}$

Ya que

L

es la longitud de la curva plana indicada en el denominador.

Es fácil inferir que la ecuación (2) se transforma en:

$A=2\pi \overline y L$

Con lo cual se completa la demostración.

Segundo Teorema

Sean dos funciones

f(x)

g(x)

continuas y definidas en el intervalo

[a, b]

, tales que

f(x) \geq g(x)

y que delimitan una región plana de área

A

. El volumen

V

del sólido de revolución que se genera al hacer girar esta región alrededor del eje x se calcula mediante el método de los anillos, lo que da como resultado:

$V= \pi \int_a^b f(x)^2 - g(x)^2 \,dx$

Por otra parte, para calcular la coordenada

\overline y

del centroide de una región plana delimitada por las curvas

f(x)

g(x)

se emplea esta ecuación:

$\begin{array}{rcl} \overline y & = & \frac {\displaystyle \int_a^b (f(x) + g(x))*(f(x) - g(x)) \,dx} {\displaystyle 2\int_a^b f(x) - g(x) \,dx} \\ \\ & = & \frac {\displaystyle \int_a^b f(x)^2 - g(x)^2 \,dx} {\displaystyle 2\int_a^b f(x) - g(x) \,dx} \\ \\ & = & \frac {\displaystyle \int_a^b f(x)^2 - g(x)^2 \,dx} {\displaystyle 2A} \end{array}$